Ядерная энергетика Курсовой проект по дисциплине "Детали машин" Сопромат Лекции по физике Начертательная геометрия Черчение Контрольная по математике Дизайн квартир Арт-дизайн Русская культура Мировая культура

Математический анализ


Правила вычисления производных

Доказательство теоремы. Пусть функции  определены в окрестности U(x0) точки x0,   . Для простоты записи будем иногда опускать обозначение аргумента, рассматривая при этом приращения функций только в точке x0.

Если y = y1 + y2, то

 ,

откуда при  получим

 .

Переходя здесь к пределу при Dx®0 и замечая, что в силу существования производных функций y1 и y2 в точке x0 предел правой части этого равенства существует и равен , получим, что существует и предел его левой части, и имеет место формула (23.1).

Если y = y1y2, то аналогичным образом будем последовательно иметь

 ,

 .

Правила вычисления производных

Производная обратной функции Пользуясь формулой, вычислить производную функций .

Производная и дифференциал сложной функции Условие существования производной сложной функции

Инвариантность формы первого дифференциала функции Следствие (инвариантность формы первого дифференциала относительно преобразования независимой переменной)

Гиперболические функции и их производные Функции   называются соответственно гиперболическим косинусом и гиперболическим синусом.

Определение производных высших порядков

Производные высших порядков суммы и произведения функций

Производные высших порядков от сложных функций

Производные высших порядков от обратных функций и от функций, заданных параметрически

Выведем формулы для дифференцирования параметрически заданных функций.

Дифференциалы высших порядков

Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Теорема Ферма В терминах производных оказывается удобным описывать различные свойства функций. Прежде всего, укажем характеристическое свойство точек, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение

Теорема Ролля

Теорема Лагранжа

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

Отметим два следствия из теоремы Лагранжа, полезные для дальнейшего. Следствие 1. Если функция f непрерывна на некотором промежутке (конечном или бесконечном) и во всех его внутренних точках имеет производную, равную нулю, то функция постоянна на этом промежутке.

Теорема Коши

О правилах Лопиталя Ранее при изучении пределов мы рассматривали неопределённости различных видов и учились раскрывать их, используя для этого специальные приёмы. Дифференциальное исчисление позволяет построить более универсальные методы вычисления неопределённых пределов.

Некоторые из них, носящие общее название правил существует конечный или бесконечный, равный +¥ или –¥, предел .

Неопределённости вида

Вывод формулы Тейлора

Формула называется формулой Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано. Следствие. Пусть функция  определена на интервале , и пусть в точке x0 она имеет производные до порядка n+1 включительно.

Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки

Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена

Часто бывает удобно для разложения функций f и g по формуле Тейлора использовать готовый набор разложений элементарных функций. Для этого следует в случае x0¹0 предварительно выполнить замену переменного t=x–x0; тогда x®x0 будет соответствовать t®0. Случай x®¥ заменой переменного x=1/t сводится к случаю t®0.

Из существования производной  следует непрерывность функции  в точке x0: ; кроме того, . Поэтому, перейдя к пределу при Dx®0, из полученного равенства имеем , т. е. формула (23.2) доказана.

Наконец, если  и , то

 .

Отсюда при Dx®0, вспомнив снова, что из существования производной следует непрерывность функции, и, следовательно, получим формулу (23.3).

Следствие 1 сразу вытекает из (23.2), если вспомнить, что . □

Пример. Вычислить производную функций .


На главную