Ядерная энергетика Курсовой проект по дисциплине "Детали машин" Сопромат Лекции по физике Начертательная геометрия Черчение Контрольная по математике Дизайн квартир Арт-дизайн Русская культура Мировая культура

Математический анализ

Исследование поведения функции

Признак монотонности функции

Теорема 20. Для того чтобы непрерывная на некотором промежутке функция, дифференцируемая во всех его внутренних точках, возрастала (убывала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы производная функции была во всех внутренних точках промежутка неотрицательна (неположительна).

Если во всех внутренних точках промежутка производная функции положительна (отрицательна), то функция строго возрастает (строго убывает) на этом промежутке.

Доказательство. Необходимость. Если функция f возрастает (убывает) на промежутке D (отрезке, интервале или полуинтервале) с концами в точках a и b, а x0ÎD, Dx>0, x0+DxÎD, то  (соответственно ), поэтому  (соответственно ). Площадь криволинейного сектора Область, ограниченная непрерывной линией и двумя лучами и – полярные координаты, называется криволинейным сектором

Следовательно,  (соответственно ). Перейдя к пределу при Dx®0, получим  (соответственно ).

Решение типовых задач по математике Конспекты лекций, лабораторные и задачи курсовых работ

Доказательство. Достаточность. Пусть , тогда по формуле Лагранжа, , где . Так как , то при  на  (откуда следует, в частности, ) будем иметь , т. е. функция f возрастает. Аналогично, при   на  имеем  и, следовательно, , т. е. функция f убывает.

Если  на , то  и поэтому , т. е. функция f строго возрастает. Если же  на , то , следовательно, , т. е. функция f строго убывает. □

Отыскание наибольших и наименьших значений функции

Выпуклость и точки перегиба

Всякий интервал, на котором функция (строго) выпукла вверх, соответственно вниз, называется интервалом (строгой) выпуклости вверх, соответственно вниз, этой функции. Теорема (необходимое условие, выполняющееся в точке перегиба).

Если в точке перегиба функции существует вторая производная, то она равна нулю.

Общая схема построения графиков функции Асимптоты

Построение графиков функций Изучение заданной функции и построение её графика целесообразно проводить в следующем порядке

Определение и свойства неопределенного интеграла Первообразная и неопределённый интеграл

Основные свойства интеграла Все рассматриваемые в этом пункте функции определены на некотором фиксированном промежутке D. Если функция F дифференцируема на некотором промежутке, то на нём   или, что то же самое,

Табличные интегралы Операция нахождения неопределённого интеграла от данной функции, называемая интегрированием, является действием, обратным дифференцированию, т. е. операции нахождения по данной функции её производной. Поэтому всякая формула, выражающая производную той или иной функции, т. е. формула вида , может быть обращена (записана в виде интегральной формулы) .

Нахождение неопределенных интегралов Интегрирование подстановкой

Интегрирование по частям Если функции  и  дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл , то на нём существует и интеграл , причём .

Интегрирование рациональных функций Переходим к изучению вопроса об интегрировании рациональных функций вида , где  – некоторые многочлены.

Интегрирование трансцендентных функций

Замечание. Условия  и  не являются необходимыми для строгого возрастания (строгого убывания) дифференцируемой на интервале функции, что показывают примеры функций . Первая из них строго возрастает, а вторая строго убывает на всей числовой оси, но при x0=0 их производные обращаются в нуль.

Пример. Исследовать функции на монотонность:

1. .

2. .

3. .

4. .


На главную