Лекции по физике

Ядерная энергетика
Ядерный топливный цикл
Реактор"Феникс"
Оружейный уран и плутоний
Добыча урановой руды
Обогащение урана
Атомная бома «Малыш»
Радионуклиды
Транспортировка радиоактивных веществ
Твэлы энергетических реакторов
Радиохимические заводы России
Курсовой проект по дисциплине
"Детали машин"
Технические требования на чертеже
редуктора
Выбор параметров и расчёт цилиндрических
зубчатых передач
Расчёт зубьев червячного колеса на
выносливость
Пример выполнения курсового проекта
Расчет резьбовых соединений
Зубчатые передачи
Методы повышения износостойкости
деталей машин
Червячные передачи
В зацеплении Новикова
Повреждение поверхности зубьев
Проверочный расчет на выносливость
при изгибе
Приводные ремни и область их применения
Проектирование новой машины
Проектный расчет валов
Муфты продольно-разъемные
Классификация приводных муфт
Лекции по физике
Динамика твердого тела
Вынужденные колебания и волны
Основы термодинамики
Диэлектрики
Получение переменного тока
Оптика

Фотоэлектрический эффект

Волны.

 Волной принято называть распространение в пространстве изменений какой-либо физической величины. Изменения величины могут носить как периодический, так и непериодический характер. Для того, чтобы эти изменения могли распространяться в некоторой области пространства, необходимо наличие некоторых условий; в частности, в каждой точке рассматриваемой области физическая величина должна иметь определенное значение ( принято говорить, что величина имеет полевой характер). Кроме того должна осуществляться взаимосвязь изменения физической величины в одной точке пространства с изменением этой же величины в соседних точках. Скорость распространения изменения определяется как природой изменяемой величины, так и свойствами среды, в которой распространяется это изменение. При этом определенную роль играет направление колебаний в волне. Если направление колебаний совпадает с направлением распространения волны, то такие волны называют продольными. Если же колебания происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны,

то такие волны являются поперечными. Если относительное изменение величины (т.е. изменение, деленное на саму величину) мало по сравнению с единицей, то такое изменение называют возмущением физической величины. Примером

 v

 t = 0 X

 

 vt t = t

 Х

 x

 

Рис.37. Распространение волны.

распространения возмущения могут служить волны на поверхности воды, возникающие при бросании в воду камешка. Образовавшиеся искажения поверхности воды (см. рис 37) начнут распространяться во все стороны, образуя своеобразные кольцевые структуры. Возникшая волна достигнет некоторой точки, отстоящей на расстояние х от места попадания камня в воду через время t =, где v - скорость

распространения возмущения по поверхности воды. Пусть в точке попадания камня в воду профиль образовавшегося возмущения является некоторой функцией от времени f (t). Ясно, что в любой точке поверхности, куда доходит образовавшееся возмущение, величина f (t) будет зависеть не только от времени, но также и от расстояния, однако для упрощения предположим, что возмущение сохраняет свою форму вне зависимости от пройденного расстояния. Тогда в любой точке поверхности, отстоящей от начальной точки на расстояние х, профиль возмущения f(t) будет изменяться во времени с некоторым запаздыванием на величину t = x/v , т.е. аргументом функции f(t) станет величина ( t - х/v ). Независимость величины возмущения от координаты означает, что f(t) = f(t - х/v ) . Волны, для которых имеет место последнее равенство называются плоскими. Если в начальной точке возмущение изменяется по гармоническому закону, то такая волна называется синусоидальной. Синусоидальная плоская волна записывается в таком виде:

 f (х, t) = Аsinw(t - = Аsin (wt - ) = Asin (wt - kx), ( 9-7 )

где  - так называемое волновое число, a величина  называется длиной волны. Аргумент синуса в уравнении ( 9-7 ) определяет фазу волны F (x,t). Поверхность, соединяющая все точки, фазы которых одинаковы, называется волновой поверхностью или фронтом волны. Если волна плоская, то фронтом волны является плоская поверхность. Волна, распространяющаяся во все стороны от точечного источника, называется сферической; очевидно, что для такой волны волновая поверхность представляет собой сферу. Если на какой-либо поверхности фаза постоянна, т.е. Ф(x,t) = const , скорость перемещения координаты, для которой фаза постоянна можно определить дифференцируя условие постоянства фазы: = 0 , откуда

 vфаз = , ( 9-8 )

т.е. скорость распространения волны совпадает со скоростью распространения постоянной фазы. Направление колебаний в распространяющейся волне может совпадать с направлением волны - в этом случае волна называется продольной, но может быть и так, что распространение волны происходит в направлении, перпендикулярном плоскости, в которой совершаются колебания; тогда волны называются поперечными. Например, распространение звука - это продольные волны. Примером поперечных волн могут служить волны на поверхности воды.

Энергия волны.

 Распространение синусоидальной волны в пространстве сопровождается пе-реносом энергии; в этом легко убедиться, вспомнив о разрушительной силе ударной волны при взрывах. Известно также, что волны морского прибоя способны разрушать крепчайшие каменные набережные. При изучении колебаний было установлено, что энергия колебательного движения пропорциональна квадрату амплитуды. Поэтому можно считать, что и в любом выбранном малом объеме пространства в области существования волны сосредоточена колебательная энергия, величина которой также пропорциональна квадрату амплитуды колебаний в волне. Для количественной характеристики энергии колебательного движения в волне обычно относят величину этой энергии к единице объема среды, через которую проходит волна. В этом случае принято говорить о плотности колебательной энергии w. Т.к. волна связана с «переносом» колебаний в пространстве, причем скорость этого «переноса» равна скорости распространения волны v, то плотность «перенесенной» энергии Á через единичную площадку в единицу времени равна:

 Á = v w. ( 9-9 ) 

Из ( 9-9 ) видно, что величина Á должна быть вектором, направление которого совпадает с направление скорости. Впервые этот вектор был введен профессором Московского Университета Н.А. Умовым, поэтому вектор Á принято называть вектором Умова.

 Также как колебание произвольной формы можно представить в виде суммы

гармонических составляющих, так и любую несинусоидальную волну можно представить как сумму синусоидальных волн различных частот. В определенных условиях эти синусоидальные составляющие могут взаимодействовать между собой. В результате этого амплитуды составляющих волн с одними определенными частотами могут уменьшиться, тогда как амплитуда других составляющих возрастает. В целом это приводит к тому, что несинусоидальная волна может существовать довольно долго. Впервые такую волну в английских речных шлюзах наблюдал Д.С. Рассел в 1834 г. Он назвал это явление большой уединенной волной (по- английски - это great solitary wave ). Второе слово этого названия теперь вошло в обиход для обозначения устойчивых волновых структур - солитонов.

Упругие волны в твердом теле.

Пусть имеется однородный стержень. Направим ось Х вдоль стержня и выберем два сечения стержня, координаты которых (см.рис.38) равны х1 и х 2 соответственно так, что между ними оказывается отрезок стержня длиной l0 = x2 - x1= Dх . Под действием внешних сил в стержне произойдут упругие деформации, так что в новом - деформированном состоянии- выбранные сечения имеют координаты ( х1+x1 ) и ( х2+x2 ), т.е. первое сечение сместилось на величину x1, а второе- на x2. Длина выбранного отрезка теперь равна (х2+x2) - (х1+x1) = l0 + +(x2- x1) = l0 + Dl, поэтому величина относительной деформации отрезка равна:

 e =  = . ( 9-10 )

Чтобы написать уравнение движения для выделенного отрезка стержня необходимо вычислить вторую производную смещения по времени. Как видно из выражения ( 9-7), выражение для распространяющейся волны зависит от двух переменных, поэтому вычисление производной от функции f (x,t) должно происходить несколько иначе, чем в случае одной переменной. Производную от функции f (x,t) по одной из двух переменных можно вычислять так же, как и в случае функции одной переменной, считая вторую переменную при этом постоянной, но эта производная называется частной производной. Например, если

f(x,y)= x5 y 5, то x4 y5, x5 y4 ( здесь и далее наклонные означают знак частной производной).

 С учетом этого для бесконечно малого отрезка величина относительной деформации получается формальным предельным переходом к бесконечно малым величинам. Тогда уравнение ( 9-10 ) приобретает такой вид:

 e = ( 9-11 )

Если по стержню распространяется продольная упругая волна, то в нем действуют попеременно внутренние силы растяжения и сжатия. Выбирая длину отрезка достаточно малой можно добиться, чтобы на его концы действовали одинаковые силы - сжатия или растяжения. Пусть для определенности это будут силы растяжения f1 и f2 ( см. рис.38). Второй закон Ньютона для элемента длины Dх можно написать, используя теорему о движении центра масс:

 D. ( 9-12 )

Силы упругого растяжения представляем с помощью закона Гука:

 e, ( 9-13 )

где Е - модуль упругости модуль Юнга), S - площадь сечения стержня, а - величина относительной деформации. Величина s = f/S называется упругим напряжением; масса Dm = rSDx , где r - плотность стержня. Если смещение центра масс xц.м. , то уравнение ( 9-12 ) становится таким:

 rSDx.

Деля обе части последнего равенства на на величину объема SDx, получаем:

 . При переходе к бесконечно малым величинам последнее уравнение становится уравнением для производных:

 . ( 9-14 )

Правую часть ( 9-14 ) выразим через закон Гука ( 9-13 ), переходя к бесконечно малым элементам :

 s = eЕ = Е.

 

 С учетом последнего соотношения из ( 9-14 ) получаем:

 . ( 9-15 )

Соотношение ( 9-15 ) называется волновым уравнением. Хотя оно получено для частного случая продольных упругих волн, оно имеет достаточно общий вид. Его можно получить сравнением вторых производных любой функции по координате и времени соответственно, если эта функция зависит от аргумента вида a = t -.

 Тогда первые производные функции сложного аргумента равны

 = и  соответственно, а вторые производные равны: 

 ==: (9-16)

и

 ; (9-17)

где

 a = t - ;  . Сравнивая (9-16) и (9-17), получим:

 

 =,

откуда следует, что скорость распространения продольных упругих волн равна:

 

 .

Таким образом решением волнового уравнения являются функции от аргумента a = t -. Эти функции характеризуют плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х.

На главную