Курсовой проект по дисциплине "Детали машин" Лекции по физике Начертательная геометрия Черчение Контрольная по математике

Контрольная работа по математике

Лекция 10

Смешанное произведение векторов

Определение 10.1

Смешанным произведением векторов называется произведение следующего вида: , т.е. вначале вектора  и  перемножаются векторно, а затем результат умножается скалярно на вектор .

Геометрический смысл смешанного произведения

Теорема 10.1.

Смешанное произведение трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, взятому со знаком « +», если тройка  правая, и «–» , если левая.

Доказательство.

Рассмотрим параллелограмм, построенный на векторах , лежащий в основании указанного параллелепипеда. Его площадь  выражается формулой (9.5).

.

Пусть -неколлинеарны  параллелепипеда, построенного на векторах .

Очевидно, что знак  совпадает со знаком , а он больше нуля, когда тройка правая, и меньше нуля, когда тройка левая, что и требовалось доказать.

Следствие 1.

Векторы  компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, т.е. . (10.1)

Доказательство.

Действительно, если векторы компланарны, то , равенство (10.1) выполняется.

Обратное также верно. Допустим, что векторы – некомпланарны, построим на них параллелепипед, тогда по теореме 10.1 , что противоречит условию.

Следствие 2.

Справедливо равенство:

Доказательство.

Скалярное произведение не зависит от порядка множителей, следовательно . По теореме 10.1 , =, поскольку речь идет об одном и том же параллелепипеде  и – тройки одной ориентации, поэтому в двух последних равенствах нужно брать один и тот же знак, следовательно, =.

Принимая во внимание эти равенства, смешанное произведение  и  обозначают .

 

Таким образом, .

Замечание 1. Из свойства линейности скалярного произведения следует: .

Теорема 10.2.

Пусть , , , тогда

. (10.2)

Доказательство.

, что является разложением определителя (10.2) по третьей строке.

Замечание 2. Следствие 1 теоремы 10.1 теперь можно сформулировать следующим образом:

= – необходимое и достаточное условие компланарности векторов.

Пример 10.1.

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах   .

По формуле (10.2) получаем: .


На главную