Курсовой проект по дисциплине "Детали машин" Лекции по физике Начертательная геометрия Черчение Контрольная по математике

Контрольная работа по математике

Лекция 13

Построение гиперболы

При построении гиперболы необходимо построить прямоугольник со сторонами   и  и провести диагонали, которые и являются асимптотами (см. рис.). ,  - вершины гиперболы,  - действительная полуось,  - мнимая полуось,  - центр гиперболы.

Если , то гипербола называется равносторонней, ее уравнение имеет вид:

(13.1)

.

Уравнение

(13.2)

определяет гиперболу с действительной осью .

Гиперболы, определяемые уравнениями (12.10) и (13.2) называются сопряженными.

Если центр гипербол перенести в точку , то уравнение примет вид: .

Замечание 1.

Уравнение  определяет семейство прямых.

Можно выяснить при каких коэффициентах уравнение (12.3) будет определять гиперболу или семейство прямых.

По аналогии с эллипсом - при  (*).

Определение 13.1.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение ее фокусного расстояния к расстоянию между вершинами.

Если  - действительная ось, то .

Так как для гиперболы , то , , тогда ,

(13.3)

.

Следовательно, эксцентриситет гиперболы характеризует форму прямоугольника и форму самой гиперболы.

(13.4)

,

- формулы фокальных радиусов.

Директрисы эллипса и гиперболы.

Определение 13.2.

Директрисами эллипса (гиперболы) называются прямые, перпендикулярные большой оси эллипса (действительной оси гиперболы) и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии .

. (13.5)


А)

Т.к.

Б)

Т.к.

Директрисы эллипса и гиперболы не имеют с кривыми общих точек.

Теорема 13.1.

Отношение расстояния  произвольной точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию  этой точки до соответствующей директрисы есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса (гиперболы).

(13.6)

.

Доказательство.

Рассмотрим левый фокус и левую директрису эллипса. Пусть эллипсу, тогда , ; . Если гиперболе (левой ветви), то , ; . Остальные случаи рассматриваются аналогично.


На главную