Курсовой проект по дисциплине "Детали машин" Лекции по физике Начертательная геометрия Черчение Контрольная по математике

Контрольная работа по математике

Лекция 22

Производная сложной функции

Теорема 22..1.

Если функция  имеет производную в точке , а функция  имеет производную в точке , то сложная функция  имеет производную в точке  и имеет место формула:

 или  или . (22.1)

Замечание 1. Если , то , где ,

,  - дифференцируемые функции своих аргументов.

Пример 22.1.

Вычислить производную сложной функции .

,

  

, , тогда

.

Производная функции, заданной неявно Если дифференцируемая функция задана уравнением , то производная этой неявной функции может быть найдена из уравнения , где рассматривается как сложная функция от переменной x.

Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма

Раскрытие неопределенностей

Исследование поведения функций одной переменной и построение графиков Признак монотонности функций

Отыскание наибольших и наименьших значений непрерывной на отрезке функции Функция принимает наибольшее (наименьшее) значение на отрезке  в точке .

Функции двух переменных В естествознании встречаются ситуации, когда одна величина является функцией нескольких других:

Непрерывность функции двух переменных Функция  называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки (включая саму точку) и предел функции в этой точке существует, и равен значению функции в этой точке, т.е.  или .

Частные производные Пусть функция  определена в окрестности точки . Зададим переменной   в точке  приращение , оставляя  неизменным, т.е. перейдем к точке , принадлежащей области  (области определения функции).

Неявные функции, условие их существования. Дифференцируемость неявных функций

Частные производные и дифференциалы высших порядков Частные производные по переменным  и в точке  от функций  и в точке М, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции .

Ряды Фурье для функции с периодом  и 

Разложить в ряд Фурье функцию периода , заданную на интервале  формулой:  

Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на интервале  формулой  

22.2. Дифференциал сложной функции

По определению,  (*).

Если , , т.е.,  то

.

Таким образом, равенство (*) справедливо для сложной функции, т.е. когда - зависимая переменная.

Это свойство называется

инвариантностью формы первого дифференциала.

22.3. Производная обратной функции

Теорема 22.2.

Пусть функция  непрерывна и строго монотонна в некоторой окрестности точки  и пусть в этой точке существует и не равна нулю производная функции ( ). Тогда обратная функция  имеет производную в точке , причем: . (22.2)

Доказательство.

Из существования и непрерывности функции  следует, что обратная функция   существует и непрерывна в окрестности точки . Следовательно

 .

Тогда , то есть выполняется равенство (22.2).

Геометрический смысл производной обратной функции

Рассмотрим в окрестности точки  график функции . Известно, .

Тогда если , или ,

то  - угол наклона касательной к оси .

Поскольку , то

.

Пример 22.2.

Вычислить производную функции .

 .

В формуле  взят знак «+»

т.к. при  .

Пример 22.3.

Вычислить производную функции .

.

.

В частности, при имеем .


На главную