Курсовой проект по дисциплине "Детали машин" Лекции по физике Начертательная геометрия Черчение Контрольная по математике

Контрольная работа по математике

Раскрытие неопределенностей

а) Раскрытие неопределенностей вида

Теорема 23.5 (первое правило Лопиталя).

Пусть функции  и  определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки . Пусть  в окрестности точки .

Тогда, если существует  (конечный или бесконечный), то и существует, причем справедлива формула:

. (23.3)

Доказательство.

Пусть  – произвольная последовательность и . Доопределим функции   и  в точке , . Тогда  и  непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале  и по условию .

По теореме Коши на интервале

,

то есть:

.

Рассмотрим предел при . Тогда . Т.к. существует предел справа, то и существует предел слева и:

.

Т.к.  – произвольная последовательность, то

.

Замечание 7. Правило Лопиталя – это правило сравнения скоростей.

Замечание 8.

При необходимости правило Лопиталя применяется несколько раз.

Замечание 9. Теорема остается верной при   .

Доказательство.

.

Пример 23.2.

Найти предел .

.

б) Раскрытие неопределенностей вида

Теорема 23.6 (второе правило Лопиталя).

Пусть функции  и  определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки .

Пусть  в окрестности точки  и существует предел (конечный или бесконечный), тогда существует предел

. (23.3’)

Доказательство аналогично доказательству теоремы 23.5 (доказать самостоятельно).

Пример 23.3.

Найти предел .

.

Пример 23.4.

При вычислении предела  правило Лопиталя применить нельзя, поскольку предел не существует.

в) Раскрытие неопределенностей других видов

Часто встречаются неопределенности следующих видов:

.

Все они сводятся к изученным выше двум неопределенностям путем алгебраических преобразований.

Рассмотрим некоторые из них.

Пример 23.5.

1) , где  т.е. имеем .

Можно записать:  т.е. рассматривать предел:

.

2) , то есть имеем

.

3)  , где , то есть имеем .

Пример 23.6.

Найти предел .

.


На главную