Курсовой проект по дисциплине "Детали машин" Лекции по физике Начертательная геометрия Черчение Контрольная по математике

Контрольная работа по математике

Лекция 27

Неявные функции, условие их существования.

 Дифференцируемость неявных функций

27.1.1. Неявная функция одного переменного:  (*)

Уравнение  не всегда является функцией.

Определим условия, когда уравнение (*) определяет переменную как функцию другой переменной.

Теорема 27.1 (о существовании неявной функции).

Пусть функция  непрерывна вместе с частными производными в окрестности точки . Если , , то уравнение (*) в окрестности точки   имеет единственное непрерывное решение , где  непрерывно дифференцируема.

Пример 27.1.

. т.е. существует функция

27.1.2. Неявная функция двух переменных:  (**)

Теорема 27.2.

Пусть функция  непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки . Если , , то уравнение (**) в окрестности точки   имеет единственное решение , где  имеет непрерывные частные производные.

27.1.3. Дифференцируемость неявных функций

Если выполнены условия существования неявной функции, т.е.

существует функция , то (*) имеет вид: .

Тогда, дифференцируя как сложную функцию, имеем:

.

Пример 27.2.

1)

2)

.

27.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Геометрический смысл производных и дифференциала.

Определение 27.1.

Плоскость, проходящая через точку  поверхности, называется касательной плоскостью к поверхности в этой точке, если угол между секущей, проходящей через точку   и любой точкой  этой плоскости стремится к нулю, когда .

Если  дифференцируема в точке , то

 (27.1)

– уравнение касательной плоскости к поверхности  в точке .

В этом случае  – нормальный вектор касательной плоскости называют нормалью к поверхности  и точке , где .

Геометрический смысл.

 – угловой коэффициент касательной в точке   к сечению поверхности плоскостью .

Частный дифференциал  – приращение аппликаты касательной плоскости.

27.3. Производная по направлению. Градиент.

Пусть функция  определена в окрестности точки . Из точки  построим  - произвольный единичный вектор (орт). Для характеристики скорости изменения функции в точке  в направлении  введем понятие производной по направлению.

Через вектор  проведем прямую .

Выберем точку  в направлении вектора . Тогда .

В этом случае:

.

Определение 27.2.

Если существует предел , то он называется производной по направлению функции  в точке  по направлению  и обозначается :

 (27.2)

Пусть функция  дифференцируема, тогда

.

Здесь ,

Разделив обе части равенства на , и учитывая, что

,

перейдем к пределу при :

 (27.3)

Пример 27.3.

Вычислить производную функции  в точке  по направлению вектора , где .

, т.е. .

.

Определение 27.3.

Градиентом функции  в точке  называется вектор, компоненты которого равны   и , взятые в точке .

Обозначение:

 (27.4)

Т.к. , то

 (27.5)

С другой стороны:

Т.е.  (27.6)

Следовательно,  максимально при  (), т.е.

.

Таким образом, градиент функции  в точке характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке.


На главную