Курсовой проект по дисциплине "Детали машин" Лекции по физике Начертательная геометрия Черчение Контрольная по математике

Контрольная работа по математике

РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ.

Ряды Фурье в комплексной форме

Пусть  – непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Так как сумма тригонометрического ряда является периодической функцией, то очевидно, что данная непериодическая функция не может быть разложена в ряд Фурье. Но если функция задана на конечном интервале , то для нее можно построить ряд Фурье, который имел бы ее своей суммой на этом интервале.

Для этого рассматривают вспомогательную функцию  периода , значения которой на интервале  совпадают со значениями функции   (рис. 6).

 


 y четное y 

   

 

 

 производная 

 -3 -2 -  2 3 x х

 

 нечетное 

 

 Рис. 6 Рис. 7

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением . Решение. Рассмотрим два возможных (из бесчисленных) способа разложения этой функции в ряд Фурье на заданном интервале.

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на интервале  уравнением . Решение. В данном случае удобно использовать комплексную форму ряда Фурье.

Интеграл Фурье Пусть функция (сигнал)  описывает некоторый периодический процесс. С целью исследования этого процесса часто представляют функцию  в виде суммы постоянного члена и гармонических составляющих с частотами

Представить интегралом Фурье заданную на всей оси функцию

Найти косинус- и синус-преобразования Фурье функции

Преобразование Фурье Интегральную формулу Фурье можно записать в виде . Это есть комплексная форма интеграла Фурье.

Колоколообразный импульс

Интегрирование функций нескольких переменных. Двойной интеграл и его свойства. Метод интегральной суммы. Всякая физическая система имеет пространственные размеры и описывается набором величин, которые могут меняться при переходе от точки к точке системы. Например, тело имеет переменную плотность. Задача – вычислить общую массу тела. Решение такого типа задач и дает метод интегральной суммы.

Основные свойства двойного интеграла. Постоянный множитель выносится за знак интеграла а f(x,y) dx dy = аf(x,y) dx dy т.к. общий множитель членов интегральной суммы можно вынести за скобку.

Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной к криволинейной системам координат.

 Вычислить площадь D , если D : y = x , y = 0 , x = 1 . Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение :

Тройной интеграл. Задача о вычислении массы тела. Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью r(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Если для функции  выполняется условие теоремы Дирихле, то ее можно представить соответствующим рядом Фурье. Этот ряд на интервале  во всех точках непрерывности функции будет иметь своей суммой .

Иногда приходится иметь дело с функциями, заданными только в интервале . В этом случае мы можем сначала продолжить по какому-либо закону фукнцию на интервал , а затем продолжить на всю числовую прямую периодически с периодом . Удобнее всего продолжить функцию на интервал  четным или нечетным образом (рис. 7). В первом случае ряд Фурье будет содержать только косинусы и свободный член. Во втором случае ряд Фурье будет содержать только синусы.

Рассмотрим примеры разложения в ряд Фурье непериодической функции.

1. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке  уравнением .

Решение. Функция может быть разложена в ряд Фурье бесчисленным количеством способов. Рассмотрим два наиболее важных варианта разложения.

 y

 1/2 

 

 -3 -2 -1 0 1  2 3 4 5 6 7 8 x

 Рис. 8

А. Доопределим функцию  на отрезке  четным образом (рис. 8). 

Имеем .

;

  0

 .

Еще раз интегрируем по частям:

 0

.

Итак,

.

Б. Доопределим функцию  на отрезке  нечетным образом (рис. 9).

 y

 1/2 

 

 -3 -2 -1 0 1 2  3 4 5 6 x

 

 Рис. 9

 0

 0 

.

Итак, .

.


На главную